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一、牛吃草模型

【例1】牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，期间一直有草生长。如果供给25头牛吃，可以吃多少天?这就是一道非常典型的牛吃草问题，典型的牛吃草问题的条件是设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。

二、解题技巧

牛吃草其实是是消长问题，如原来有一片草AB段。草继续保持原来的速度向右点生长，而牛开始吃草。在C点时，牛将新长出来的草和原来的草全都吃完了。将这个模型抽象成二维空间的图如下，我们可以发现，和我们学过的追及问题非常相似，因此类比追及问题来推导牛吃草问题的公式：

M：原来共有M份草。

N：有N头牛，每头牛每天吃1份草。牛吃草的速度为N份/天。

x：草每天生长x份草

t：牛把所有草吃光所花的时间

根据学过的追及问题的公式我们可以知道M=(N-x)·t。

所以根据公式，M=(10-x)×22=(16-x)×10。解得x=5，M=110。问25头牛可吃多少天则可列方程：M=(25-x)×t，带入可得t=5.5天

三、模型变形

1、相遇型

当寒冬来临，牛仔每天吃草的同时，草也在以一定的速度枯萎。此时，牛吃草问题又会变成什么样呢?

【例2】寒冬已至，草场的草每天以一定的速度在枯死。如果有20头牛吃草，5天可以吃完，如果有15头牛吃草，6天可以吃完。假设每头牛每天吃的量时固定的，照此计算，想要10天把草吃完，需要多少头牛?

安徽农商行招聘网解析：根据题目意思，枯死的草和牛所吃掉的草等于草场原有的草。

因此根据公式可得：M=(20+x)×5=(15+x)×6。解得x=10，M=150。想要在10天吃完则有M=(N+x)10。可得N=5。

1、极值型

我们一直在说合理放牧，说的是放牧的同时，不让草场的草被吃光。那么在这种情况下的牛吃草问题怎么去做呢?我们发现，只要牛吃草的速度追不上草生长的速度，草永远不会被吃光，此时最多可以养x头牛。因此在牛吃草问题中，若出现极值型的题目，一般考虑N=x的情况。

【例3】春天来了，草场的草又开始生长。如果有24头牛吃草，那么6天把草吃光，如果21头牛吃草，8天把草吃光。想要让草永远不被吃光，最多放几头牛吃草?

安徽农商行招聘网解析：根据题目意思，草每天都在生长，当牛每天吃草的量等于草场每天生长的量，我们就能保证草能永远不被吃光。根据公式可得：M=(24-x)×6=(21-x)×8。解得x=12，M=72。即草每天都长12份，为了让草永远不被吃光，最多只能放12头牛吃草。

2、多个草场型

我们说一个草原上不可能只有一个草场，所以说又多出了一类问题，多个草场的牛吃草问题，是不同的牛数在不同的草场上的几种不同吃法，其中每头牛每天吃草量和草每天的生长量，两个量是不变的。我们可以通过最小公倍数法即通过寻找多个草场面积的“最小整数倍”，然后将所有面积都转化为“最小公倍数”，同时对牛的头数进行相应变化，然后进行解答。这样就变成了在相同面积草场的牛吃草问题，那么就可以直接使用牛吃草问题公式进行解答了。

【例4】20头牛，吃30公亩牧场的草15天可吃尽，15头牛吃同样牧场25公亩的草，30天可吃尽。请问几头牛吃同样牧场50公亩的草，12天可吃尽?

安徽农商行招聘网解析：取30、25和50的公倍数300，所以原题等价于“300亩的牧场可供200头牛吃15天，可供180头牛吃30天，那么可供多少头牛吃12天”，300亩的草可供N头牛吃12天，那么有(200-x)×15=(180-x)×30=(N-x)×12，解得x=160，N=210，210&pide;6=35，所以35头牛吃同样牧场50公亩的草，12天可吃尽。

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